C05 Sensitivität und Optimierung

Das Teilprojekt C05 befasst sich im Rahmen des TRR 188 mit der numerischen Optimierung der Schädigung in Umformprozessen. Hierfür werden verschiedene Ansätze verfolgt, um mit Hilfe mathematischer Optimierung die im TRR 188 verfolgten Umformprozesse dahingehend zu optimieren, dass die Schädigung im finalen Bauteil reduziert und während des Prozesses kontrolliert werden kann. Durch spezifische Wahl der Zielfunktion und Nebenbedingung (Umformgrad, Triaxialität, Lodewinkel, Lastpfad, Schädigung, …) können die Parameter eines Prozesses (Umformgeschwindigkeit, Reibung, Geometrie, …) numerisch optimiert werden, um final ein schädigungstoleranteres Umformbauteil zu erzeugen.

In der ersten Förderperiode wurde der Ansatz der variationellen Sensitivitätsanalyse verwendet, um effizient die analytischen Gradienten für ein regularisiertes Schädigungsmodell, das mit dem TP C02 zusammen entwickelt wurde, zu bestimmen. Über diesen Ansatz kann eine effiziente Implementation in das numerische Optimierungsframework erfolgen, wodurch deutlich an Rechenzeit gegenüber den typischen numerischen Ansätzen eingespart werden kann. Gegen Ende der ersten Förderperiode wurde diese Methode auf das während dieser ersten Förderperiode entwickelte neuartige Materialmodell von TP C02 angewendet, um final auch die duktil schädigenden Effekte der zu betrachtenden Materialen berücksichtigen zu können. Simultan dazu wurde ein Framework entwickelt, welches die direkte Optimierung der Umformprozesse ermöglicht. Durch die Verwendung von Abaqus als FEM-Löser konnte eine Routine generiert werden, welche die Optimierung von Umformprozessen, unter Berücksichtigung von Kontakt, anhand von Simulationen mit Abaqus ermöglicht. Durch die Schnittstelle über Python konnten dort die Daten ausgelesen und in die vorhandene, leicht angepasste, Optimierungsumgebung eingefügt werden, um die komplexen Umformprozesse direkt zu optimieren.

Durch die Ergebnisse der ersten Förderperiode haben sich die Kernpunkte für die zweite Förderperiode herausgestellt. Zum einen wird komplexeres Materialverhalten betrachtet. Hierbei spielt insbesondere die Temperatur eine große Rolle, welche ebenfalls in der Sensitivitätsanalyse berücksichtigt wird. Um eine zeitliche Abhängigkeit zu ermöglichen, wird weiterhin viskoses Materialverhalten repräsentiert. Somit findet insgesamt ein thermomechanisch, visko-plastisches schädigendes Materialverhalten in der Optimierung Anwendung. Weiterhin wird der Ansatz zur Optimierung der Umformprozesse über Abaqus fortgesetzt. Um ein größeres Spektrum jener Umformprozessen optimieren zu können, wird das in der ersten Förderperiode entwickelte Framework ausgebaut, um die Problemdefinition zu verallgemeinern und somit die Anwendung zu vereinfachen. Als dritter Bestandteil der Forschung des TP C05 in der zweiten Förderperiode kommt die Optimierung auf der Mikroskala hinzu. Hierbei sollen Geometrien mittels der Extended-FEM (XFEM) und Level-Set-Methode auf der Mikroskala optimiert werden, um optimale, schädigungsresistente Mikrostrukturen generieren zu können. Weiterhin können so zusätzliche Informationen hinsichtlich „bester“ und „schlechtester“ Anordnung von Einschlüssen festgestellt werden.

Mit der dritten Förderperiode sollen die Ansätze aus den vorherigen Forschungsergebnissen kombiniert werden und eine Methode zur Kontrolle der Mikroschädigung auf den Makroprozess ermöglicht werden. Hierzu wird die Mikroschädigung mittels der FE²-Methode an den Makrozustand gekoppelt. Anschließend kann mit den entwickelten Optimierungsmethoden die Herleitung der analytischen Gradienten numerisch effizient umgesetzt werden. Weiterhin werden die Ergebnisse aus der Modellierung für die Optimierung der Makroschädigung aufgearbeitet, um auch eine anisotrope Schädigung zu berücksichtigen.

In der ersten Förderperiode war es das Ziel des Teilprojektes C05, die bekannte Methodik der mathematischen Optimierung auf die entstehende Schädigung in Umformprozessen anzuwenden. Hierdurch wurde die Schädigung erfolgreich minimiert und somit kontrolliert [Guh20]. Eine grundlegende, theoretisch anspruchsvolle Methode ist die variationelle Sensitivitätsanalyse, bei der mittels initialer kontinuumsmechanischer Analyse der Material- und Schädigungsmechanik, die resultierende Sensitivität bezüglich kontinuierlicher Designfunktionen ermittelt wird. Die theoretische Analyse erlaubt auf diesem Wege eine effiziente Implementation und somit signifikant reduzierte Rechenzeiten. Auf diesem Weg kann die Schädigung während der Umformung kontrolliert werden und die Optimierung die Schädigung reduzieren.

Diese Methodik ist auf Grund des hohen theoretischen Aufwands jedoch nur sehr aufwändig auf komplexe Umformprozesse zu übertragen. Aus diesem Grund wurden die mathematischen Optimierungsmethoden auf kommerzielle Softwareprodukte unter Verwendung einer numerischen Sensitivitätsanalyse angepasst. Die entwickelte Kopplung zweier Bausteine, d.h. der kommerziellen Software Abaqus und der Optimierungstools von Matlab, erlaubte die Optimierung von komplexe Umformprozessen. In Zusammenarbeit mit dem Projektbereich A wurde auch die aufwändige Kontaktberechnung erfolgreich in der Optimierung berücksichtigt.

Variationelle Sensitivitätsanalyse

Basierend auf der Rahmenproblematik des TRR 188 und dem Ziel der Kontrolle der Schädigung wurde ein nicht-lokales, gradientenerweitertes Schädigungsmodell verwendet, welches in Zusammenarbeit mit dem Teilprojekt C02 entwickelt wurde. Gegenüber den bekannten lokalen Modellen von Lemaitre [Lem85] oder Gurson [Gur77], besitzt dieses neue Modell ein regularisiertes und somit vom FEM-Netz unabhängiges Verhalten und ermöglicht somit eine gute Vorhersage der Schädigung bereits bei grob vernetzten Problemstrukturen. Dieses ist insbesondere für die Optimierung ein großer Vorteil, da durch die gröbere Vernetzung des FEM-Problems und der damit erzielten Einsparung an FEM-Knoten über die einzelnen Optimierungsschritte erheblich Rechenzeit eingespart wird. Gegenüber dem typischen Ansatz, die Schädigung mittels einer 1 – d Formulierung in die Modelle einzubinden, ist das hier verwendete Modell über Schädigungsfunktionen definiert. Die hierbei verwendete Schädigungsvariable d kann einen Wert im Bereich zwischen 0 und  einnehmen, welcher durch die Schädigungsfunktion ƒ anschließend auf den Bereich ]0,1] zurückgeführt wird. Durch diese Implementation werden numerische Fehler bei Werten von d ≈ 1 in der 1 – d Definition vorgebeugt. Die Gradienten für die gradientenbasierte Optimierung wurden im Anschluss mittels der variationellen Sensitivitätsanalyse hergeleitet. Die Gleichung beschreibt die Veränderung, die sich in den Freiheitsgraden, d.h. Verschiebung u und Schädigung d, durch eine Änderung des über die Optimierung veränderlichen Designs s ergibt. Die Wahl des Designs ist anschließend abhängig vom gewählten Optimierungsproblem.

Für die Optimierung wurden zwei verschiedene Ansätze hinsichtlich reduzierter Schädigung vorgeschlagen. Bei der direkten Methode, Gl. (1), werden die Schädigungswerte an den FEM-Knoten direkt in die Zielfunktion eingebunden. Um eine skalarwertige Zielfunktion zu definieren, wird die Norm der Schädigungswerte aller FEM-Knoten gebildet. Eine Minimierung dieser Zielfunktion führt somit direkt zu einer Minimierung der gesamten akkumulierten Schädigung in einem gewählten Beispielproblem. Für die indirekte Methode, Gl. (2), wird die Schädigung an den FEM-Knoten als Nebenbedingung eingebracht, um hierüber die Schädigung zu kontrollieren und somit indirekt zu minimieren, indem ein Wert vorgeschrieben wird, der unter dem initial maximalen Schädigungswert liegt. Hiermit ist es somit möglich, eine beliebige, skalarwertige Zielfunktion zu minimieren und gleichzeitig die Schädigung zu kontrollieren, so dass diese einen kritischen Wert nicht übersteigt. Die hier gewählte Zielfunktion C(s) beschreibt die Nachgiebigkeit, deren Minimierung zu einer Versteifung der Struktur und somit zu einer erhöhten Tragfähigkeit führt. In Abb. 1 sind die Ergebnisse für die beschriebenen Methoden dargestellt. Die Optimierungsprobleme hierfür lauten

Um eine Vergleichbarkeit der Ergebnisse zu ermöglichen, ist ein identisches Volumen der Körper notwendig. Dieses wird durch die zusätzliche volumenbezogene Nebenbedingung gewährleistet, wonach das Volumen V das initiale Volumen V₀ nicht überschreiten darf. Die zusätzliche Schädigungsnebenbedingung in der direkten Schädigungsminimierung kann als kritischer Schädigungsgrenzwert betrachtet werden und führt, neben der gesamten Minimierung der Schädigung im Bauteil dazu, dass kritische Werte nicht überschritten werden [Guh18]. Als Rechenbeispiel wird eine Platte mit Loch simuliert und anschließend optimiert. Durch Anwendung der Symmetrie kann ein Achtel der Platte modelliert und mit den entsprechenden Randbedingungen beaufschlagt werden. Hierbei wird die vollständige Platte oben und unten mit einer vorgeschriebenen Verschiebung belastet.

Abb. 1: Geometrieoptimierung mit verschiedenen Optimierungsproblemen. Die Referenzgeometrie (links), Optimierungsproblem 1, die direkte Optimierung (mittig) und Optimierungsproblem 2, die indirekte Optimierung (rechts) mit der Nachgiebigkeit als Zielfunktion. Die unter vollständiger Belastung auftretenden Schädigungsfelder der Schädigungsvariablen  sind über dem undeformierten System dargestellt

Zu erkennen ist die deutlich reduzierte maximale Schädigung, welche die vorgegebene Grenze von d_crit = 0.8 nicht überschreitet. Die akkumulierte Schädigung kann über die direkte Minimierung in diesem Beispiel um 60% gemindert werden, indem das vorhandene Material leicht umverteilt wird. Bei der indirekten Minimierung nimmt die akkumulierte Schädigung nur um etwa 7% ab; durch die Zielfunktion kann am Beispiel der Verschiebung des Endpunktes die Tragfähigkeit jedoch um 40% gesteigert werden, siehe Abb. 2.

Die Ergebnisse der Simulationen wurden anschließend in Kooperation mit TP C02 validiert [Guh20]. Hierbei wurden Testkörper der neuen Geometrien erzeugt und in einer Zugmaschine bis zum Bruch gezogen, um die durch die Simulation erzielten Geometrien mit reellen Experimentaldaten vergleichen zu können. Das hier verwendete Modell bildet reine Schädigung ab, d.h. in diesem Modell ist bisher keine Plastizität implementiert, und somit konnten diese Effekte in den Simulationen nicht dargestellt werden. Die Optimierung erfolgte bei einer aufgebrachten Verschiebung von 0,5 mm. Die Vergleichsexperimente unterstreichen die Verbesserung der dadurch erzielten neuen Geometrien. Die experimentellen Proben wurden darüber hinaus bis zum Bruch gezogen, um nicht nur das Szenario der Umformung, sondern auch den Versagensfall abzudecken. Insbesondere bei einer Verschiebung von 1,5 mm wurde eine besonders signifikante Schädigungsentwicklung identifiziert. Auch wenn die Optimierung dafür nicht ausgelegt war, so zeigte sich für diesen Bereich dennoch eine gute Übereinstimmung des tendenziellen Verlaufs im Kraft-Verschiebungs-Diagramm. Der Ort des Scheitelpunktes sowie die Steigung der Kurve in diesem Diagramm stimmen bei weiterwachsender Schädigung gut überein. Somit zeigt sich, dass die durch die Optimierung entstandenen Geometrien, trotz der doch einfachen Modellierung des Problems, eine gute Vorhersage und Verbesserung des Materialverhaltens prognostizieren können. Eine Anwendung der mathematischen Optimierung auf Schädigungsverhalten ist somit von hohem Nutzen.

Abb. 2: Kraft-Verschiebung-Verläufe für die optimierten Geometrien aus Abb. 1. Die Simulationen inklusive Refe-renzgraph (links), die experimentelle Validierung der direkten Schädigungsoptimierung (mittig) und die expe-rimentelle Validierung der indirekten Schädigungsoptimierung (rechts)

Neben der Optimierung der Geometrie wurde die Optimierung von Randbedingungen bzw. externen Lasten sowie die Reduktion des Optimierungsproblems mit Hilfe der Singulärwertzerlegung (SVD) betrachtet. Der Ansatzpunkt zur Optimierung externer Lasten findet sich im externen Kraftvektor zur Beschreibung des mechanischen Gleichgewichts der FEM-Beschreibung wieder. Das Ersetzen des externen Kraftvektors  durch parametrisierte Lasten erlaubt die verallgemeinerte Definition des aufgeprägten Randwertproblems [Lie18a]. Gegenüber der Möglichkeit, die Kräfte an den FEM-Knoten als einzelne Größen und somit Designvariablen zu behandeln, hat die Wahl von Polynomen als Abbildung der Kräfte den Vorteil, dass eine kontinuierliche Verteilung der Kräfte über den Rand gewährleistet wird. Weiterhin wird durch die Wahl der Koeffizienten der Polynome als Designvariablen das mathematische Optimierungsproblem stark reduziert und erlaubt somit eine einfache Herleitung und Implementierung. Die Anwendung der SVD auf das Problem ermöglicht die Zerlegung der externen Kräfte in die Hauptkomponenten. Diese führt zur Identifikation der Designvariablen, welche den höchsten Einfluss auf die Optimierung haben. Somit ist eine Reduktion der Dimension des Optimierungsproblems zur Verringerung des numerischen Aufwands möglich [Lie18b]. Die Erweiterung der Methodik auf Problemstellungen mit mehreren Designeinflüssen wie etwa Geometrie [Ger12] und Lasten ermöglicht es somit hervorzuheben, welche Einflussgrößen die gravierendsten Auswirkungen auf das optimale Design haben.

Optimierung mittels kommerzieller Software – Randbedingungen/Lasten

Während der Bearbeitung des Teilprojektes hat sich herausgestellt, dass zur Zusammenarbeit mit den Teilprojekten aus dem Projektbereich A und zur direkten Bearbeitung von Umformprozessen die Anwendung der variationellen Sensitivitätsanalyse nicht in jedem Fall möglich ist. Für die Simulation von Umformprozessen ist die Verwendung von Kontaktelementen zwingend notwendig, welche im verwendeten In-House-Code nicht zu Verfügung steht. Weiterhin würde die zusätzliche Berechnung analytischer Gradienten für ein numerisch anspruchsvolles Problem wie der Kontaktberechnung den Rahmen des beantragten Teilprojektes übersteigen. Um die Möglichkeit zur direkten Optimierung von Umformprozessen dennoch zu gewährleisten, wurde ein größerer Fokus auf die Arbeit mit kommerzieller Software als FEM-Löser gelegt. Dieses Framework wurde inkrementell zur Verwendung im TRR 188 für die Teilprojekte des Bereichs A und teilweise für die anderen C-Projekte zur Verfügung gestellt. Im Laufe der Bearbeitung dieses Arbeitspaketes fand eine Zusammenarbeit mit dem Teilprojekt S01 zur Nutzung externer Optimierungsalgorithmen in Kombination mit Abaqus statt. Die vom TP S01 genutzte Methoden und Schnittstellen für die optimierungsbasierte Parameteridentifikation wurden auf die Strukturoptimierung angepasst und erweitert. Der konzeptionelle Ablauf der Optimierung ist in Abb. 3 dargestellt. Die Initialisierung, Optimierung und Steuerung wird weiterhin in Matlab durchgeführt, während für die FEM-Simulation Abaqus verwendet wird. Zur Auswertung der erzeugten Ergebnisse wird anschließend die Schnittstelle durch die verfügbare Python-Bibliothek verwendet. Diese ermöglicht das automatische Auslesen der output-Datenbank (odb) und somit die Automatisierung des Prozesses ohne manuelles Eingreifen nach jedem Rechenschritt. Diese Daten werden anschließend in Matlab eingelesen, um das vorher definierte Optimierungsproblem zu lösen. Momentan muss die Definition des Problems sowohl in Abaqus als auch Matlab durchgeführt werden, um das Struktur- und Optimierungsproblem eindeutig zu definieren [Guh19a]. Das Modell für die Berechnung wird mit den notwendigen Anpassungen in Abaqus erstellt, welche die Definition von Bereichen für die Zielfunktion und Nebenbedingungen in Matlab ermöglicht.

Abb. 3: Der skizzierte Ablauf zur Optimierung mit Abaqus als FEM-Löser in Kombination mit Matlab als Optimierer und Python als Schnittstelle (links). Der Zusammenhang zwischen dem Frei- und Elastomerbiegen, sowie dem Ersatzmodell für die Optimierung der Lastverteilung (rechts)

Zur Anwendung der Optimierung mittels dieser Optimierungsroutine wurden in Kooperation mit Teilprojekt A05 das Freibiegen und das angepasste Elastomerbiegen als Ausgangspunkte und Beispielprozesse gewählt. Beim Elastomerbiegen wird durch das Einlegen eines Elastomerkissens in die Matrize ein Gegenkörper für das zu biegende Blech eingeführt. Das Blech liegt somit während des Umformprozesses auf dem Kissen auf und durch die Deformation des Elastomers kommt es zu resultierenden Druckspannungen im Außenbereich des Bleches und damit insbesondere in der Region, in der es zur kritischen Schädigung kommt. Für die Optimierung wurde im ersten Schritt nun das Elastomerkissen mit Kraftpolynomen ersetzt, welche die radiale Reaktionskraft des Elastomerkissens darstellen, siehe Abb. 3. Der bereits erläuterte Ansatz zur Definition der externen Lasten wurde auch hier angewendet, d.h. zwei Polynome für die Raumrichtungen der Ebene erlaubten somit eine freie Einstellung von Kräften am Rand des Bleches. Abb. 4 zeigt die schematische Modellierung mit den Abmessungen und dem Bereich für die anzusetzenden externen Lasten. Wichtig für die Optimierung im Sinne der Umformung ist neben der Reduktion der Schädigung auch die Berücksichtigung der finalen Form des Fertigbauteils, d.h. des gebogenen Bleches in diesem Fall. Dies wird gewährleistet, indem die Zielfunktion so definiert wird, dass die normierte Differenz zwischen dem Verschiebungsnetz im aktuellen Schritt U(s) und dem vorgegebenen Verschiebungsfeld U^pre gebildet wird. U^pre beschreibt dabei die finale Form des Bleches, welche entsteht, wenn der Biegeprozess ohne Gegendruck durchgeführt wird. Zur Kontrolle der Schädigungsentwicklung wird die Triaxialität als ausschlaggebender Wert betrachtet und die Nebenbedingung gefordert, dass die Triaxialität im Optimum unter einem kritischen Wert liegen muss. Arbeiten der Teilprojekte A05 und B02 [Mey19] zeigten, dass für den monotonen Biegeprozess die Annahme eines elastoplastischen Materialmodells und die Analyse der Triaxialität geeignete Modellannahmen für die Schädigung beim Freibiegen darstellen. Auf Basis dieser Forschung wurde auf ein elastoplastisches Materialmodell zurückgegriffen. Die Fließkurve für dieses Modell für den Werkstoff DP800 wurde von Seiten des Teilprojektes A05 beigesteuert. Weiterhin erlaubt dieses Modell den Vergleich zu den in TP A05 ermittelten Ergebnissen [Tek17]. Zusätzlich hat die Reduktion des Simulationsmodelles den großen Vorteil einer deutlich reduzierten Rechenzeit gegenüber konventionellen oder dem von Teilprojekt C02 entwickeltem Schädigungsmodell. Dieser wird durch die Verwendung gradientenbasierter Optimierung noch weiter hervorgehoben. Dabei ist die Bestimmung der Gradienten von Zielfunktion und Nebenbedingungen notwendig, welche auf Grund der Verwendung kommerzieller Software auf numerischen Weg geschieht, d.h. durch die Anwendung der Finite Differenzen Methode. Dadurch kommt es zu einer proportional zur Anzahl der Designvariablen erhöhten Rechenzeit durch die zusätzliche Auswertung der FEM-Probleme mit gestörten Designvariablen. Die Ergebnisse der Optimierung sind in Abb. 4 dargestellt.

Abb. 4: Schematische Modellierung der Lastverteilung (links): der rot markierte Bereich wird für die Optimierung be-trachtet. Optimierte Resultate (rechts): oben Verteilung der Triaxialität ohne Gegendruck und unten der opti-mierte Gegendruck

Initial werden keine Lasten vorgeschrieben; somit entspricht der Startpunkt dem Freibiegen. Die daraufhin optimierten Kräfte liefern das gewünschte Ergebnis einer Reduktion der Triaxialität im Randbereich des Bleches, wobei der optimierte Prozess ein nahezu identisches Verschiebungsfeld generiert und somit die finale Form des gebogenen Bleches der Geometrie des unbelasteten Biegeprozesses entspricht. Auch ohne direktes Steuern der Kräfte, d.h. explizite Vorgabe der sich einstellenden resultierenden Kraftrichtung (radial, Druckrichtung), entstehen resultierende Kräfte, wie sie auch beim Elastomerbiegen erwartet werden.

Abb. 5: Überschreitung der kritischen Triaxialität während des Prozesses repräsentativ für Knoten A (links). Knoten für die Amplitudenoptimierung (rechts). Knoten B und C werden in Abb. 6 zusätzlich verglichen

Durch diese Art der Optimierung können nur die finalen Triaxialitätswerte kontrolliert werden, dargestellt in Abb. 5. Um eine Kontrolle der Triaxialität und somit der Schädigung während des Prozesses zu ermöglichen, ist die zusätzliche zeitliche Kontrolle während der Optimierung nötig. Hierbei wurde die Lastoptimierung durch die Optimierung der Lastinkremente erweitert, welche in Abaqus mittels eigens definierter Amplituden umgesetzt wurde. Durch Anpassung dieser Amplituden kann über die Optimierung hinweg die Belastungsart automatisch geregelt werden. Zur Beschreibung der Amplituden wurden B-splines als Ausgangsgrößen gewählt. Diese haben gegenüber einfachen Polynomen den Vorteil, dass sie bei kleinen Polynomgraden bereits eine hohe Freiheit im Designraum besitzen, um auch deutliche Wechsel in den Belastungsamplituden zu ermöglichen. Die Kontrollpunkte der B-splines fungieren als Designvariablen für die Optimierung. Durch diese Optimierung konnte die Triaxialität auch über den kompletten Umformprozess kontrolliert werden, siehe Abb. 6. Durch das Anpassen der Lastinkremente kann dementsprechend der Lastpfad derart beeinflusst werden, dass die Triaxialität während des gesamten Prozesses unter dem kritischen Wert verweilt [Guh19b]. Während bei Knoten A die Inkremente deutlich kleiner ausfallen und der Faktor zum Ende des Prozesses nur noch 60% der maximalen Last benötigt, steigt dieser Wert weiter außen in der kritischen Zone auf einen Wert von bis zu 90%. Dieses Verhalten ist mit dem in TP A05 entwickeltem RSS-Biegen zu vergleichen, in dem die Radialkraft durch einen sich bewegenden Gegenkörper entsprechend zuerst zentral auf das Blech drückt, sich während des Prozesses dann aber weiter in Richtung der Flanken des Bleches bewegt [Mey18]. Momentan ist nur die Optimierung der Amplitude an einem FEM-Knoten möglich, die Prozedur ist jedoch erweiterbar auf die simultane Optimierung mehrerer Knotenamplituden. Diese Erweiterung ist allerdings durch das aufwändige Auslesen und Berechnen der Spannungswerte mit einem erhöhten Rechenaufwand verbunden.

Abb. 6: Optimierte Lastinkremente an den verschiedenen Knoten aus Abb. 5

Optimierung mittels kommerzieller Software – Geometrie

Abschließend wurde die Geometrieoptimierung auf die Optimierung mittels Abaqus übertragen, um die direkte Optimierung des Elastomerkissens zu ermöglichen. Hierbei wurden die Simulations- und Materialdaten für das Elastomerkissen von Teilprojekt A05 bereitgestellt und die Daten dahingehend angepasst, dass ein implizites Lösungsverfahren für die Simulation verwendet werden konnte. Während vorher der Umweg über die Annahme externer Lasten für die Modellierung und Optimierung des Kissens angewendet wurde, findet nun eine direkte Optimierung des Elastomerkissens mittels der Geometrieoptimierung statt. Dabei wird die äußere Geometrie des Elastomerkissens beibehalten und der Schichtaufbau des Elastomers optimiert. Durch die Verwendung von zwei unterschiedlichen Härtegraden für das Elastomer kann somit eine Kombination gefunden werden, die einen optimalen Gegendruck für das definierte Optimierungsproblem einstellt. Der Übergang zwischen diesen beiden Elastomertypen dient somit als Designgrundlage für die Geometrieoptimierung. Um eine Änderung des Aufbaus zu ermöglichen, wurde daraufhin in Matlab das Elastomerkissen ebenfalls modelliert und der Übergang zwischen den zwei Phasen mittels einer Beziér-Linie definiert, um für die Optimierung eine frei einstellbare Form zu ermöglichen. Die Zielfunktion wurde so gewählt, dass sich die Triaxialität im betrachteten Bereich dem vorgeschriebenen Wert der Triaxialität  annähert. Das Optimierungsproblem lautet somit . Bei ersten Optimierungsversuchen stellte sich jedoch heraus, dass die bisher verwendete Optimierung mittels gradientenbasierter Optimierungverfahren keine brauchbaren Ergebnisse liefert. Die zusätzliche Kontaktberechnung zwischen Blech und Elastomerkissen führt zu einer Unstetigkeit der mathematischen Beschreibung des Problems und somit zu einer Ungenauigkeit der ermittelten (numerischen) Sensitivitäten. Durch diese Ungenauigkeit finden gradientenbasierte Optimierungsmethoden keine eindeutige Lösung mehr und es kommt nicht zur Konvergenz der verwendeten Verfahren. Deswegen wurde bei den Optimierungsmethoden auf ein gradientenfreies Verfahren gewechselt, explizit den Nelder-Mead Downhill-Simplex [Nel65], um dennoch Ergebnisse generieren zu können. Durch die Verwendung dieser Methode entfällt die Ermittlung der Gradienten, in Abb. 3 der mittlere Teil des Frameworks, und spart somit zusätzliche Rechenzeit ein. Jedoch benötigt dieses Verfahren einen deutlichen höheren Rechenaufwand durch viele Funktionsauswertungen, welche in Summe den Aufwand für die numerische Berechnung der Gradienten überwiegt. Dennoch wird mit diesem Verfahren die Unstetigkeit der Kontaktberechnung beherrscht und Ergebnisse generiert, siehe Abb. 7. Eine Erhöhung des Anteils an hartem Elastomer und der Krümmung der Übergangsfläche ermöglicht die gewünschte Homogenisierung der Triaxialität in der Randfaser des Bleches.

Abb. 7: Geometrieoptimierung des Elastomerkissens beim Elastomerbiegen. Der initiale Fall (links) und Optimum (rechts). Elastomer mit zwei Härtegraden: hart (dunkelblau), weich (rot). Der eingerahmte Bereich zeigt den Triaxialitätsverlauf im kontrollierten Randbereich. Für das Elastomer wurde hierfür ein hyperelastisches Mate-rialverhalten angenommen

Optimierung auf der Mikroskala (Vorarbeiten zur erweiterten Zielsetzung der 2. Förderperiode)

Die Arbeitsgrundlage des TRR 188 für die Analyse und Kontrolle der Schädigung ist die getrennte Betrachtung der Phänomene auf der Makro- und Mikroskala. Die Materialmodelle auf der Makroskala werden verwendet, um den (makroskopischen) Lastpfad zu beschreiben. Die makroskopischen Optimierungsprobleme orientieren sich an dieser Vorgehensweise. In der zweiten Förderperiode wird zusätzlich die Optimierung auf der Mikroskala betrachtet. Die geometrische Beschreibung von Einschlüssen (Martensit) in einer Matrix (Ferrit) kann numerisch effizient durch die Level Set Methode (LSM) [Osh88] erfolgen. Die Beschreibung der mechanischen Phänomene entlang der Grenzflächen ist mit der Extended Finite Elemente Methode (XFEM) möglich [Bel99]. Die Kombination von LSM und XFEM wird auch zur Optimierung verwendet, siehe z.B. [Wan04], sowie zur Sensitivitätsanalyse z.B. [Noë15]. Der Antragsteller hat hierbei eine modifizierte XFEM Technik entwickelt, die auf einer Sub-Vernetzung der geschnittenen Finiten Elemente basiert, anstatt die übliche Sub-Integration zu verwenden, siehe [Bar15], bzw. für alternative Ansätze [Noë17]. Hierdurch kann die Sensitivitätsanalyse modular auf bereits vorhandene Ergebnisse zurückgreifen. Diese Methodik wird in Forschungsvorhaben außerhalb des TRR 188 verwendet und bildet die Grundlage für die Optimierung auf der Mikroskala.

Fazit

In der ersten Förderperiode wurden die ersten mathematischen Optimierungsprobleme zur Kontrolle der Schädigung bei Umformprozessen erfolgreich behandelt. Durch die Zusammenarbeit mit Teilprojekt C02 wurde die Methodik der variationellen Sensitivitätsanalyse auf die Optimierung von Geometrien unter Berücksichtigung der Schädigungsphänomene übertragen. Über die Definition verschiedener Optimierungsprobleme konnte somit die Schädigung direkt (über die Definition der Schädigung in der Zielfunktion) oder indirekt (über eine Restriktion der Schädigung in den Nebenbedingungen) minimiert werden. Diese Vorgehensweise in der Optimierung erlaubte eine effiziente numerische Umsetzung. Aufbauend auf diesen und weiteren Ergebnissen der ersten Förderperiode wird die Materialkomplexität in der zweiten Förderperiode ausgebaut, um auch zusätzliche Effekte wie Temperatureinflüsse und zeitabhängiges, viskoses Verhalten einbeziehen zu können.

Zur Kontrolle komplexer Umformprozesse wurde ein Tool entwickelt, welches durch die Verwendung kommerzieller Software, in diesem Fall das FEM-Programm Abaqus, die direkte Optimierung von Umformprozessen ermöglicht. Das Hauptproblem der Kontaktberechnung, welche in Umformprozessen unabdingbar ist, erforderte besondere Aufmerksamkeit und angepasste Lösungen. Durch die Verwendung numerischer Gradienten konnten die Kontaktbeziehungen mit einbezogen werden, ohne eine aufwändige Aufarbeitung der dahinterliegenden theoretischen Grundlagen durchführen zu müssen. Auf diesem Wege konnten verschiedene Ansätze zur Optimierung des exemplarischen Prozesses Elastomerbiegen aus dem Teilprojekt A05 am Beispiel des Elastomerkissens verfolgt werden. Dieses Tool erfordert derzeit eine vorherige technische Anpassung an die Problemstellung und somit eine zusätzliche rudimentäre Modellierung des Ersatzproblems und der zugehörigen Designvariables außerhalb der Abaqusumgebung. In der zweiten Förderperiode ist eine Weiterentwicklung geplant, um durch die Ausnutzung der Skripterzeugung seitens Abaqus, diese zusätzliche Modellierung zu vereinfachen oder unter Umständen komplett zu umgehen. Dieses ermöglicht einen weitgefächerten Einsatz der Methodik, ohne weitfassende, spezielle Anpassungen für jeden Umformprozess.

Neben den makroskopischen Betrachtungen basierend auf phänomenologischen Modellen, ist auch die mikroskopische Untersuchung der auftretenden Schädigung von Interesse. Hierzu wurden außerhalb des TRR 188 bereits Vorarbeiten geleistet. Durch die Verknüpfung von LSM und XFEM können effiziente Geometrieoptimierungen auf der Mikroskala vorgenommen werden. Somit werden in der zweiten Förderperiode auf der Mikroskala Strukturen erzeugt, die bei dem aufgeprägten Lastpfad minimale Schädigung aufweisen.

Literaturverzeichnis