C04 Mikromechanische Modellierung

Das Gesamtziel des Teilprojektes C04 ist die Modellierung der Schädigungsevolution des Dualphasenstahls DP800 sowie des Einsatzstahls 16MnCrS5 auf der Mikroskala. Hierfür wurden Randwertprobleme basierend auf repräsentativen Volumenelementen (RVE) der entsprechenden Polykristalle mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode formuliert, welche die

• plastische Verformung der Körner aufgrund von Versetzungsbewegungen,
• die intrakristalline Schädigung sowie
• die Schädigung und Porenbildung an Korngrenzen

abbilden können. Realisiert wurde dies mit der Entwicklung eines erweiterten Kristallplastiziätsmodells für die Körner einerseits und eines verbesserten Grenzflächenmodells für die Korngrenzen andererseits. Schlussendlich sollen so makroskopische Materialkennwerte, wie etwa der dreidimensionale Schädigungstensor, Textur oder der Porenvolumenanteil, für bekannte Lastpfade umformtechnischer Prozesse bestimmt werden. Weiterhin können in einem nächsten Schritt verbesserte Lastpfade im Sinne eine Schädigungskontrolle vorausgesagt werden, was eine wertvolle Information in der Prozessauslegung und ‑steuerung darstellt.

Kristallplastizitätsmodell unter Berücksichtigung der intrakristallinen Schädigung

Die wesentlichen methodischen Beiträge der ersten Förderperiode im Bereich der Kristallplastizität sind:
(a) die Entwicklung eines robusten Finite-Elemente-Rahmens für die lokale Kristallplastizität, (b) ein kristallplastisches Modell auf Grundlage von Traktions-Verschiebungsbeziehungen sowie (c) die Erweiterung der lokalen Kristallplastizität auf eine gradientenerweiterte Theorie. Im Folgenden werden die Ergebnisse bezogen auf diese drei Beiträge dargestellt.

Die klassische Kristallplastizitätstheorie basiert auf einer Homogenisierung, in welcher die diskrete plastische Abgleitung auf der Mikroskala (Sprung im Verschiebungsfeld) durch eine kontinuierliche Verzerrung auf der Makroskala ersetzt wird. Diese plastische Verzerrung wiederum folgt aus einer Evolutionsgleichung, die aus einem Schmid-Gesetz resultiert. Schlussendlich führt dies zu einer Spannungs-Verzerrungs-Beziehung an den Gleitebenen. Im Gegensatz dazu ist in [Foh19] ein direkter Ansatz vorgeschlagen worden, welcher den Homogenisierungsschritt vermeidet. Die dem Ansatz zugrundeliegende Idee ist dabei, die plastische Abgleitung direkt durch einen Verschiebungssprung zu beschreiben und diesen an die in der Gleitebene wirkenden Schubkoordinate des Traktionsvektors zu koppeln. Wie in [Foh19] gezeigt, lassen sich der elastische Anteil des Deformationsgradienten sowie die Fließfunktion  des i–ten Gleitsystems in die Form

überführen. Hierbei bezeichnen die Gleitrichtung und den Normalenvektor des i–ten Gleitsystems,  die Mandel-Spannungen, die (initiale) Fließspannung, spannungsähnliche Verfestigungsvariablen, den Deformationsgradienten der stetigen Deformation und eine Interpolationsfunktion, welche die Kinematik der Abgleitung beschreibt, s. [Arm96]. Ohne auf weitere Details näher einzugehen soll an dieser Stelle hervorgehoben werden, dass die klassische Kristallplastizitätstheorie (basierend auf Verzerrungen) formal durch identische Gleichungen charakterisiert werden kann. Während dies für die Fließfunktion in Gl. (1) offensichtlich ist, so ist das dort beschriebene Update für ebenfalls identisch mit demjenigen der klassischen Kristallplastizitätstheorie – unter der Annahme einer expliziten Integration der Evolutionsgleichungen über die Zeit. Aufgrund dieser Analogie konnten beide Modelle in demselben Finite-Elemente-Rahmen implementiert werden. Dieser basiert auf inkrementeller Energieminimierung, wodurch die direkte Anwendung effizienter Optimierungsalgorithmen ermöglicht wird. So sind beispielsweise die mit ratenunabhängigen Plastizitätsmodellen einhergehenden Ungleichungen durch ein äquivalentes, nichtlineares Komplementärproblem (Nonlinear-Complementary-Problem, NCP) ersetzt worden, s. auch [Foh19]. Die daraus resultierende numerische Implementierung weist gegenüber konventionellen algorithmischen Formulierungen deutliche Vorteile auf. So konnte beispielsweise gezeigt werden, dass die Hessematrix stets regulär ist – bei entsprechender Wahl der Einheiten.

Ein Vergleich zwischen der klassischen Kristallplastizitätstheorie und dem neuen konstitutiven Rahmen basierend auf einer diskreten Beschreibung ist in [Foh19] veröffentlicht worden. In Hinblick auf die Texturvorhersage sind die Ergebnisse aus [Foh19] in Abb. 1 zusammengefasst dargestellt.

Abb. 1: Darstellung der Texturentwicklung in OFHC-Kupfer (mit quasi-isotropen Ausgangszustand) während einfacher Scherung (in 12-Richtung) anhand der Orientierungsdichteverteilungsfunktion für verschiedene kristallographische Ebenen (Amplitude der Scherverzerrung: 1.0): Vergleich zwischen Experiment (rechts; s. [Bro92]) und kristallplastischen Modellen basierend auf (links) klassischem Schmid-Gesetz und (Mitte) Schmid-Gesetz auf Grundlage von Traktions-Verschiebungs-Beziehung; siehe [Foh19]

Die Texturentwicklung beschreibt die Entwicklung der plastizitätsinduzierten Anisotropie auf der makroskopischen Ebene und damit zu der für technologische Prozesse relevanten Skala. Ebenso fließt die Texturentwicklung in die makroskopische Materialmodellierung ein. Der Abbildung ist zu entnehmen, dass beide Modelle für eine Scherbelastung sehr ähnliche Texturen vorhersagen. Des Weiteren weisen diese Texturen eine gute Übereinstimmung mit jenen auf, die experimentell gemessen worden sind (vgl. [Bro92]). Zum Zeitpunkt der Modellvalidierung lagen noch keine Ergebnisse für den im TRR 188 betrachteten Dualphasenstahl DP800, welcher durch eine BCC-Struktur gekennzeichnet ist. Aus diesem Grund sind die Daten aus [Bro92] basierend auf OFHC-Kupfer mit einer FCC-Struktur verwendet worden. Der vorgeschlagene kristallplastische konstitutive Rahmen ist jedoch ohne weitere Probleme auch für BCC-Kristalle anwendbar.

Obgleich der in [Foh19] vorgeschlagene neue Zugang für die Kristallplastizitätstheorie in der Tat direkter als der bereits etablierte ist – eine Homogenisierung ist nicht erforderlich – so weist er für die Simulation von Texturen keine signifikanten Vorteile für TRR 188-relevante Problemstellungen auf. Die numerische Robustheit und die Performance (Laufzeit) sind sogar bei der klassischen Kristallplastizitätstheorie besser. Aus diesem Grund – die Laufzeit ist essenziell für die Durchführung von Parameterstudien, welche von besonderem Interesse für den gesamten TRR sind – soll im Rahmen dieses Teilprojektes die klassische Kristallplastizitätstheorie den Ausgangspunkt darstellen.

Mit der neuen, ebenso in [Foh19] vorgestellten, numerischen Implementierung des lokalen Kristallplastizitätsmodells können bereits viele mechanisch relevante Effekte sowohl in Einkristallen als auch in Polykristallen numerisch analysiert werden. Größeneffekte, wie diejenigen in B03 beobachteten, lassen sich jedoch mit einem lokalen Plastizitätsmodell grundsätzlich nicht abbilden. Sie sind aber für den TRR 188 von zentraler Bedeutung. Von dieser Bedeutung heraus motiviert ist in C04 das lokale Kristallplastizitätsmodell gemäß einem sogenannter mikromorphen Ansatz erweitert worden, s. [Foh18]. Dieser Ansatz gehört zu der Klasse der gradientenerweiterten Modelle. Den Arbeiten [Dim08, For09, Dim11, For15] folgend sind dazu zusätzlich zu den verzerrungsähnlichen internen Variablen  globale Hilfsvariablen eingeführt und im Sinne eines Penalty-Ansatzes gekoppelt worden. Dadurch geht die innere Energie des lokalen Kristallplastizitätsmodells in die Form

über. In Gl. (2) ist ein einfacher linearer Verfestigungsansatz in Abhängigkeit von für den Gradiententerm gewählt worden (quadratischer Energieanteil). Die dazu korrespondierenden Modellparameter sind  (Längenskale) sowie (Wichtung des Penalty-Terms). Komplexere Verfestigungsmodelle lassen sich jedoch ohne weitere Schwierigkeiten ebenfalls abbilden. Wie in [Foh18] gezeigt folgen sämtliche konstitutiven Gleichung, sowie die dem Modell zugrundeliegenden Erhaltungssätze, des Modells auf kanonische Weise aus der Stationarität des Ratenpotenzial (ein übergestellter Punkt bezeichnet die materielle Zeitableitung)

Der in [Foh18] vorgestellte Rahmen berücksichtigt dabei bereits eine thermomechanische Kopplung. Der Notation aus [Yan06, Can11, Bar15] folgend ist in Gl. (3) die Temperatur, die Entropie, die interne mechanische Dissipation, ein Potenzial, welches die thermische Konduktivität beschreibt, Leistung der äußeren mechanischen und der verallgemeinerter thermischer Lasten und ein Integrationsfaktor zur Symmetrisierung des gekoppelten Problems, vgl. [Yan06].

Abb. 2: Zugversuch am Einkristall: Das gradientenerweiterte Kristallplastizitätsmodell basiert auf Potenzial (2). Der Effekt des Gradiententerms und der damit induzierten Längenskale ist sowohl in der Breite des plastifizierten Bereichs (α ist eine äquivalente plastische Verzerrung) als auch in der globalen Ver- bzw. Entfestigung deutlich zu sehen.

Ergebnisse erster numerischer Analysen von Einkristallen aus OFHC-Kupfer auf der Grundlage des zuvor skizzierten gradientenerweiterten Kristallplastizitätsmodells sind in Abb. 2 zusammenfassend dargestellt. Die zugehörige numerische Implementierung basiert auf einer direkten Zeitdiskretisierung des Potenzials (3) in Kombination mit einer Newton-Iteration. Die dafür benötigte Hesse-Matrix ist gemäß dem in [Foh18] veröffentlichten Algorithmus exakt mittels automatischer Differentiation auf Basis hyperdualer Zahlen berechnet worden. Die Ergebnisse in Abb. 2 korrespondieren zum isothermen Zustand.

Konstitutives Modell für Grenzflächen unter Berücksichtigung der interkristallinen Schädigung

Für die im TRR 188 betrachteten Werkstoffe sind die relevanten Schädigungsmechanismen die Dekohäsion an Korngrenzen und an Einschlüssen. Diese Mechanismen werden mittels eines erweiterten Grenzflächenmodells erfasst. Das Modell basiert auf dem in [Ott16] vorgeschlagenen konstitutiven Rahmen, s. auch [Mos11], und erlaubt, beliebige materielle Anisotropien abzubilden. Zudem erfüllt es die fundamentalen physikalischen Erhaltungssätze – im Gegensatz zu bisher veröffentlichen Grenzflächenmodellen. Darüber hinaus sind neben Dekohäsionsmechanismen auch Effekte infolge von Oberflächenspannungen konsistent in das Modell integriert (im Sinne einer Surface-Elasticity-Theorie nach Gurtin; s. [Gur75], [Ste08]). In der ersten Förderperiode ist für den in [Ott16] beschriebenen Rahmen eine effiziente Finite-Elemente-Formulierung entwickelt und implementiert worden, s. [Hei18]. Als Prototyp wurde dabei ein Mixed-Mode-Modell untersucht. Dieses Schädigungsmodell basiert auf einer additiven Aufspaltung der Helmholtzenergie

in einen Mode-I-Anteil (hervorgehoben durch den Index „n“) und einen Mode-II/III-Anteil (hervorgehoben durch den Index „t“) und trägt dem Cross-Softening-Effekt Rechnung (Schädigung infolge Mode-I verursacht auch Entfestigung in Mode-II/III-Richtung und umgekehrt). Analog zu dem Kristallplastizitätsmodell aus dem vorherigen Unterabschnitt ist auch das Grenzflächenmodell variationell konsistent und die Implementierung folgt aus einem Minimierungsprinzip. Das Modell (4) erlaubt es, den verschiedenen mechanischen Verhalten unter Mode-I und Mode-II bzw. Mode-III Rechnung zu tragen (Rissöffnung an Korngrenzen vs. Abgleiten an Korngrenzen).

Um den Einfluss von Schädigung an Grenzflächen auf das makroskopische Verhalten quantitativ und prädiktiv abschätzen zu können, ist das Grenzflächenmodell in [Hei18] in einen Homogenisierungsrahmen im Sinne einer FE²-Methodik eingebettet worden. Damit kann der durch das Zusammenspiel zwischen Volumen- und Grenzflächenenergien induzierte Größeneffekt analysiert werden. Eine solche Analyse ist Abb. 3 zu entnehmen.

Abb. 3: Einschluss eingebettet in eine Matrix; s [Hei18]. Das Grenzflächenmodell zwischen der Matrix und dem Einschluss führt im Zusammenspiel mit den konstitutiven Modellen für die Volumina zu einem Größeneffekt. Das Diagramm zeigt die makroskopische Spannung in 11-Richtung korrespondierend zu einer vorgegebenen makroskopischen Verzerrung in Abhängigkeit von der Größe des repräsentativen Volumenelementes für verschiedene Grenzflächenmodelle.

Während ein klassisches Kohäsivzonenmodell durch die Aussage „je kleiner, desto weniger fest“ charakterisiert ist, resultiert ein Grenzflächenmodell nach Gurtin [Gur75] in der gegenteiligen Aussage. Durch die nicht-triviale Kombination beider Modelle lassen sich aber auch nicht-monotone Trends erzeugen (s. Modell „General interface“).

Sensitivitätsanalysen bezüglich der Initialschädigung sowie des Lastpfades anhand von RVEs

Um die numerische Analyse von Polykristallen zu ermöglichen – und um damit den Einfluss von Schädigungsakkumulation auf der Mikroebene auf das resultierende makroskopische Verhalten zu untersuchen – sind die zuvor skizzierten Materialmodelle in ein repräsentatives Volumenelement eingebettet worden. Die Geometrische Beschreibung des RVEs wurde dabei von B05 bereitgestellt. Dadurch ist es möglich, für die Prozesskette Blechumformung im TRR 188 gezielt das mechanische Verhalten einzelner Materialpunkte zu analysieren und dadurch optimale lokale Lastpfade (für einen Materialpunkt) zu identifizieren. Dies ist eine wichtige Information für die Auslegung der betrachteten Prozesse im Projektbereich der Umformtechnologie.

In einem ersten Schritt ist die lokale Version des Kristallplastizitätsmodells (BCC Kristallstruktur) in Kombination mit einem isotropen Schädigungsmodell für die Korngrenzen verwendet worden, um das mechanische Verhalten des Polykristalls abzubilden (Sonderfall der Modellparameter aus Gl. (4)). Die Verschiebungsrandbedingen des RVEs sind zuvor von A06 ermittelt worden. Sie korrespondieren zur Verzerrungshistorie eines materiellen Punktes während eines Nakajima-Tests. Die Mikrostruktur wurde mittels des in B05 entwickelten Algorithmus erstellt.

Abb. 4: Finite-Elemente-Simulation eines repräsentativen Volumenelementes während eines Tiefziehversuchs (Nakajima-Tests). Linkes Bild: Akkumulierte plastische Dehnung über alle Gleitsysteme in den Ferritkörnern (gerechnet mittels Kristallplastizitätstheorie und BCC-Kristallstruktur). Mittleres Bild: Schädigung an den Phasen- bzw. Korngrenzen. Rechtes Bild: Berechnete makroskopische Spannungen (erster Piola-Kirchhoff-Spannungstensor).

Literaturverzeichnis