C02 Makroskopische Modellierung

Direkte Mehrskalenmodelle auf der Basis nano- und mikromechanischer Ansätze sind zur Simulation makroskopischer Umformprozesse aufgrund des hohen numerischen Aufwandes und langer Rechenzeiten nicht geeignet. Daher wird in diesem Teilprojekt eine Modellierung und Finite-Elemente-Simulation auf der Makroskala entwickelt und implementiert – sowohl für den Dualphasenstahl DP800 als auch für den Einsatzstahl 16MnCrS5. Um die komplexen Interaktionen im Werkstoff, wie z. B. Interaktionen zwischen Mikroriss- und Porenwachstum mit plastischem Fließen, zu modellieren, muss das Makromodell sowohl die heterogene und sich entwickelnde plastische Anisotropie als auch eine anisotrope Schädigungsdegradation unter Berücksichtigung großer Verzerrungen abbilden können.

Das makroskopische Plastizitätsmodell verfolgt hierbei zwei Ansätze. Zum einen wird die Einführung eines Hill-ähnlichen Tensors vierter Stufe, der sich deformationsinduziert entwickelt, verfolgt und zum anderen soll dieser Ansatz durch die Einführung gewichteter Spannungsmoden oder Strukturtensoren, die sich ebenfalls deformationsinduziert entwickeln, erweitert werden. Naheliegend ist eine deformationsinduzierte Anisotropieentwicklung in Abhängigkeit der plastischen Fließrichtung. Darüber hinaus wird sowohl kinematische als auch isotrope Verfestigung berücksichtigt, da diese Verfestigungsphänomene die Eigenschaften umformtechnisch hergestellter Halbzeuge und Bauteile maßgeblich beeinflussen.

Die Entwicklung der elastischen Anisotropie hängt unmittelbar mit der Entwicklung von Textur und Schädigung zusammen. Die Herausforderung dieses Teilprojekts besteht im Bereich der Materialmodellierung darin, diese deformationsinduzierte Anisotropieentwicklung mit der Schädigungsentwicklung zu koppeln. Die anisotrope Schädigungsmodellierung erfolgt hierbei tensoriell und berücksichtigt Ansätze zur Modellierung mikromechanischer Schädigungseffekte, wie den sogenannten Microcrack-Closure-Reopening (MCR)-Effekt.

Um Entfestigungs- und Schädigungseffekte algorithmisch robust im Kontext der Methode der Finiten Elemente simulieren zu können, müssen zutreffende Regularisierungsmethoden verwendet werden, da nur diese eine netzunabhängige Finite-Elemente-Simulation im Falle der Schädigungsentwicklung ermöglichen und somit eine Übertragung des Materialmodells auf die Simulation von Randwertproblemen, die sich von den Randwertproblemen, anhand derer die zugrunde liegenden Materialparameter identifiziert wurden, unterscheiden. Die Herausforderung dieses Teilprojekts besteht im Bereich der Numerik daher darin, ein gradientenerweitertes Modell für eine tensorielle Schädigungsformulierung zu etablieren, um mithilfe der Methode der Finiten Elemente netzunabhängige Simulationsergebnisse zu erhalten (d. h. eine zunehmende Netzverfeinerung liefert quasi gleiche Ergebnisse). Bisherige Forschungsarbeiten zur sogenannten gradientenerweiterten Schädigungsmodellierung sind vor allem auf isotrope Schädigungsansätze fokussiert.

Das Ziel dieses Teilprojekts ist daher, ein anisotropes, gradientenerweitertes Schädigungsmodell, gekoppelt mit deformationsinduzierter Anisotropieentwicklung sowie kinematischer und isotroper Verfestigung für die Simulation von Umformprozessen – wie z. B. Biegeumformung, Tiefziehen, Kaltmassivumformung – zu etablieren und das Modell für den Dualphasenstahl DP800 und den Einsatzstahl 16MnCrS5 zu kalibrieren.

Das Teilprojekt bildet eine zentrale Schnittstelle zwischen dem Projektbereich B (Charakterisierung) und, in Kooperation mit TP S01, dem Projektbereich A (Prozesstechnologie). Perspektivisch schließen sich in späteren Förderperioden Erweiterungen des Modells an, wobei die Modellierung von Dehnratenabhängigkeiten der plastischen Formänderung und der Schädigungsentwicklung sowie die volle thermomechanische Kopplung inklusive Ausheilung im Vordergrund stehen.

Gradienten-erweitertes Modell für duktile Schädigung bei großen Formänderungen

Im TP C02 lag der Fokus zunächst auf der Entwicklung eines Gradienten-erweiterten Materialmodells für isotrope duktile Schädigung. Da in den in diesem Projekt für den vorliegenden DP800 durchgeführten Versuchen keine signifikante initiale elastische und plastische Anisotropie feststellbar war, wurde die Modellierung dieser Anisotropien vorerst zurückgestellt. Die Gradienten-Erweiterung des Materialmodells erfolgte mittels des mikromorphen Ansatzes, s. z.B. [For09] sowie [Dim08], dessen Anwendung auf Schädigung im Rahmen großer Formänderungen bereits in eigenen Vorarbeiten für die Kopplung mit Elastizität etabliert wurde, s. [Waf14]. Die Entwicklung regularisierter, robuster, verifizierter und validierter Modelle, um im Kontext der Methode der Finiten Elemente (FE) zutreffende Vorhersagen machen zu können und netzunabhängige Ergebnisse zu erzielen, ist weiterhin ein aktives Forschungsgebiet. Der Übergang zwischen Schädigung und Versagen kann z.B. durch lastpfadabhängige Regularisierungsparameter beschrieben werden, s. [Van18], bzw. durch lokalisierende Gradienten-Erweiterung, s. [Xu19]. Ein weiterer Ansatz zur Regularisierung, welcher die Finite-Elemente-Methode mit Strategien netzfreier Verfahren kombiniert, wurde in [Jun19] veröffentlicht. Andere Forschungsarbeiten beschäftigen sich mehrheitlich mit der Vorhersage des Versagens und weniger mit der Schädigungsinitiierung und -entwicklung. Hierzu gehört z.B. das regularisierte Gurson-basierte Modell mit Riss-Initiierung und Riss-Fortschritt in [Zha18].

Das hier entwickelte Modell basiert auf einem Modell für Gradienten-erweiterte duktile Schädigung bei kleinen Formänderungen, s. [Kie18], im Rahmen eines Lemaitre Ansatzes. Neben der Erweiterung auf große Formänderungen wird die klassische [1 - d] Formulierung durch eine Formulierung basierend auf mehreren Exponentialfunktionen  ersetzt. Die Schädigungsvariable d beschreibt in diesem Modell den Einfluss der Schädigung, z.B. infolge der Initiierung und Entwicklung von Poren auf der Mikroebene, sowohl auf die makroskopische Steifigkeit als auch auf die Evolution der plastischen Formänderung. Insbesondere wird der Einfluss der Schädigungsvariable  auf die volumetrischen elastischen Eigenschaften vom Einfluss auf die isochoren elastischen Eigenschaften  separiert. Der elastische Anteil der Funktion der (lokalen) freien Energie wird eingeführt als

was die in Abb. 1 (links) dargestellten Anpassungen ermöglicht. Dadurch kann der Einfluss der Spannungstriaxialität, die im TRR 188 als eine für die Schädigungsentwicklung entscheidende Größe identifiziert wurde, auf die Schädigungsentwicklung implizit gesteuert werden. Spannungstriaxialität und zugehöriger Lode-Parameter werden auch in dem in [Zhu18] vorgeschlagenen Materialmodell als signifikante Einflussfaktoren auf die Schädigungsentwicklung verwendet. In dem hier entwickelten Modell verändert eine weitere Schädigungsfunktion den Grenzwert im Schädigungspotenzial, aus dem die assoziierte Schädigungsevolution folgt, sodass mit steigender Schädigungsentwicklung der Grenzwert gegen einen Wert saturiert. Dies ist vergleichbar mit saturierender Verfestigung in der Plastizitätsmodellierung und wurde in ähnlicher Form auch für die Schädigungsmodellierung in der Literatur unter der Bezeichnung „damage hardening“ eingeführt, s. [Bre17]. Die vierte Schädigungsfunktion im neu entwickelten Modell beeinflusst die effektiven Spannungen. Eine Veränderung des entsprechenden Parameters  ermöglicht, die Duktilität des Materialmodells einzustellen, s. Abb. 1 (mittig), sodass das Materialmodell insgesamt sehr flexibel an verschiedenste Materialverhalten angepasst werden kann.

Abb. 1:  Einfluss verschiedener Materialparameter auf beispielhaftes Materialverhalten dargestellt durch Spannungs-Verzerrungsdiagramme für einaxiale Spannungszustände: Einfluss des volumetrischen und isochoren Schädigungsmultiplikators (links), Einfluss des Schädigungsmultiplikators in der effektiven Spannung (mittig), Einfluss des Parameters in der effektiven Schädigungstriebkraft (rechts)

Ein weiteres zentrales Element des in diesem Projekt neu entwickelten Modells ist die multisurface-Formulierung, d.h. es wird jeweils ein Potenzial („Fließfunktion“) und jeweils ein Lagrange-Multiplikator für Plastizitäts- und Schädigungsentwicklung eingeführt, sodass Plastizität und Schädigung unabhängig voneinander aktiviert werden können, was insbesondere für den Übergang von duktiler zu spröder Schädigung sowie Temperaturabhängigkeiten von Vorteil ist. Die Interaktion zwischen Plastizitäts- und Schädigungsentwicklung erfolgt über die jeweiligen effektiven treibenden Kräfte. Dabei ist das Konzept der effektiven Spannung in der Literatur fest etabliert, s. [Mur12] – eine effektive Schädigungstriebkraft stellt im Kontext der multisurface-Formulierung hingegen eine Neuentwicklung dar. Die Schädigungstriebkraft q wird durch eine Funktion abhängig von der isotropen plastischen Verfestigungsvariablen α dividiert, nämlich . Hierdurch wird auch für sich sehr stark entwickelnde Plastizität die Schädigungsentwicklung weiterhin erhöht, s. Abb. 1 (rechts). Des Weiteren wurde in Kooperation mit TP C05 ein Optimierungsansatz entwickelt, mit welchem für Gradienten-erweiterte Schädigungsmodelle sowohl die Schädigung minimiert werden kann als auch Nebenbedingungen an die Schädigungsvariablen gestellt werden können, s. [Guh18] und [Guh20].

Unterschiedliche Modellierungsansätze sind für duktile anisotrope Schädigung in der Literatur etabliert worden. Diese basieren zumeist auf tensoriellen Schädigungsvariablen, um entsprechende Richtungsabhängigkeiten, s. z.B. [Bad17], oder Effekte resultierend aus dem Öffnen und Schließen von Mikrorissen, s. z.B. [Ekh03], direkt widerspiegeln zu können. Die Modellierung anisotroper Schädigung wurde in Kombination mit sogenannten fiktiven Konfigurationen formuliert, s. z.B. [AlR03] und [Brü17]. Aus der Abbildung auf die fiktive Konfiguration lässt sich eine Schädigungsmetrik als interne Variable motivieren. Dieser Ansatz kann ideal mit dem Konzept der Verzerrungsenergieäquivalenz, bzw. Kovarianz, kombiniert werden, s. z.B. [Men03] und die Erweiterung inklusive nichtlinearer kinematischer Verfestigung in [Men05] sowie die Umsetzung im Kontext eines mikromorphen Ansatzes in [Lan20].

Parameteridentifikation

Im TP C02 wurden Zugversuche an DP800 durchgeführt. Bedingt durch die Parameteridentifikation (PI) ist es von essenzieller Bedeutung, die genauen Details jedes einzelnen Versuchs zu kennen und den Versuch so gestalten und steuern zu können, dass dieser bzw. die daraus resultierende Datensätze optimal für die PI genutzt werden können. Durchgeführt wurden die Versuche an einer Mikroprüfmaschine von Kammrath & Weiss, die unter einer DIC-Kamera platziert wurde, s. Abb. 2 (links). Während des Versuchs werden sowohl Kraft als auch Verschiebungsfeld (mittels DIC) gemessen. Die DIC-Kamera dient dabei zugleich als optisches Extensometer, um den Einfluss der Maschinensteifigkeit auf die Versuchsergebnisse zu eliminieren. Konkret wurden Zugproben mit zwei unterschiedlichen Geometrien, Abmessungen ca. 50x10 mm, unter nicht-monotoner Zugbelastung, d.h. Zugbelastung mit mehreren Entlastungen, getestet. Die Hinzunahme der Entlastung ist insbesondere für die PI wichtig, da sich nur so der Einfluss der Schädigung auf die elastischen Eigenschaften quantifizieren lässt. Ein Teilergebnis dieser Versuche ist, dass hier keine signifikante initiale elastische und plastische Anisotropie im DP800 beobachtet wurde, wie Versuche an Proben, die unter 0°, 90° und 45° Walzrichtung aus dem Blech entnommen wurden, zeigten.

Abb. 2: Mikroprüfmaschine (Kammrath & Weiss) unter der verwendeten DIC-Kamera (links). Vergleich der experimentell ermittelten Kraft-Verschiebungskurve für eine Zugprobe (rot) und der Simulationsergebnisse (blau) mit dem identifizierten Parameterset (mittig). Analoger Vergleich für einen Zugversuch einer Scheibe mit Loch, wobei das zuvor identifizierte Parameterset für die Simulation verwendet wurde (rechts)

Der in diesem Projekt verfolgte Ansatz zur Parameteridentifikation basiert auf der in [Mah99] entwickelten Methodik, bei der die integrale Kraft in Zugrichtung  sowie das Verschiebungsfeld verwendet werden, und die in [Ros19] aufgegriffen und weiterentwickelt wurde. In [Ros19] wird insbesondere eine Formulierung entwickelt, welche verzerrungsähnliche Verschiebungsgrößen  verwendet, um z.B. den Einfluss von Starrkörperrotationen auf diese zu unterbinden. Algorithmisch wird das nichtlineare Optimierungsproblem

(vorerst) mit Hilfe eines Simplex-Algorithmus gelöst, um das optimale Materialparameterset  zu bestimmen. Die sehr unterschiedlichen Größenordnungen zwischen Kraftgrößen und Verschiebungsgrößen werden über die Skalierung der Gewichte  und  vereinheitlicht. Die Simulation des Experiments stützt sich auf das gemessene Verschiebungsfeld. Anstatt die vollständige Probe zu simulieren, wird nur der Teil simuliert, in dem das Verschiebungsfeld auch gemessen wurde. Als Randbedingungen für die Simulation werden gemessene Verschiebungen aufgebracht. Die insgesamt 14 Parameter des neu entwickelten Gradienten-erweiterten duktilen Schädigungsmodells werden in einem gestaffelten Vorgehen identifiziert. Die beiden elastischen Parameter lassen sich direkt aus den Experimenten bestimmen. Danach werden zunächst vorläufige plastische Parameter identifiziert, wobei nur der Teil der aufgebrachten Last bis zur ersten Entlastung berücksichtigt wird. Im Anschluss werden vorläufige Schädigungsparameter identifiziert. Zum Schluss werden in einer finalen Identifikation plastische Parameter und Schädigungsparameter gleichzeitig identifiziert, wobei die vorläufigen Parameter als Startparameter dienen. Mit den final identifizierten Parametern wird die experimentelle Antwort einer DP800 Probe reproduzierbar, s. Abb. 2 (mittig). Die zur Validierung eingesetzte zweite Probenform (Scheibe mit Loch), zeigt eine gute Übereinstimmung zwischen der Simulation und Experiment, s. Abb. 2 (rechts). In der Literatur wurde die Parameteridentifikation darüber hinaus für Schädigungsmodelle bislang nur für lokale Modelle untersucht – z.B. wurde in [And17] eine GISSMO failure surface identifiziert und in [ARe18] wurde duktile Schädigung als Änderung der elastischen Steifigkeit für Be- und Entlastung von Dualphasenstählen ermittelt.

Anwendung in der Umformtechnik

Das neu entwickelte Gradienten-erweiterte Modell für duktile Schädigung wurde in Kooperation mit TP S01 in die kommerzielle FE-Software Abaqus implementiert. Eine besondere Herausforderung stellt dabei die Beschränkung auf die in Abaqus vorhandenen Elemente dar, um die in Abaqus vorhandene Kontaktformulierung – welche zur Simulation komplexer Umformprozesse unabdingbar ist – nutzen zu können. Hierfür wird ausgenutzt, dass die Gleichung für stationäre Wärmeleitung formal identisch mit der Bilanzgleichung für die globale Schädigungsvariable  ist, und welche variationell aus der Ergänzung der Funktion der freien Energie um nicht-lokale Anteile folgt, s. [Ost19], d.h.

wobei c_d und b_d als konstant angesetzt wurden und  das Temperaturfeld repräsentiert. Ein analoger Ansatz, mit im Detail jedoch unterschiedlicher Umsetzung, wurde auch in [Seu18] veröffentlicht. Als eine Anwendung des neuen Gradienten-erweiterten duktilen Schädigungsmodells für die Simulation eines der betrachteten Umformprozesse wurde in Kooperation mit den TPs A05 und S01 das Freibiegen (DP800) betrachtet. Die Untersuchungen beinhalten einen Vergleich zwischen einem lokalen Lemaitre-Modell und dem neuen Gradienten-erweiterten Modell für duktile Schädigung. Hierbei wurde besonderer Fokus auf die Vorteile des netzunabhängigen neu entwickelten Modells gelegt, s. [Spr20]. Ein entscheidendes Ergebnis ist dabei die Netzunabhängigkeit in Kombination mit der Kontaktsimulation, s. Abb. 3. Die Notwendigkeit der Regularisierung wird in diesem Beispiel deutlich, da analoge Simulationen mit einem lokalen Lemaitre-Modell abhängig vom Grad der Lokalisierung (insbesonderen bei Variation der Gesenkweite) zu stark unterschiedlichen Schädigungsentwicklungen, -verteilungen und –werten führen, s. [Spr20].

Abb. 3: Freibiegeprozess (links, TP A05) und Darstellung eines Ausschnittes der Simulation (rechts) durchgeführt mit dem neu entwicketen Gradienten-erweitertem Schädigungsmodell basierend auf der Umsetzung in Abaqus. Dargestellt (rechts) sind simulierte Schädigungsverteilungen, , wobei unterschiedliche Diskretisierungen (grob: rechts oben, fein: rechts unten) gleiche Schädigungsverteilungen liefern, was die Netzunabhängigkeit des neuen Modells unterstreicht

Fazit

In der ersten Förderperiode wurde erfolgreich ein neues Gradienten-erweitertes Schädigungsmodell etabliert, welches sich sehr flexibel an experimentelle Ergebnisse anpassen lässt. Das Modell wurde in Kooperation mit TP S01 auf eine Implementierung in Abaqus übertragen, sodass die Umgebung dieser kommerziellen FE-Software durchgehend genutzt werden kann. Dies beinhaltet z.B. die Simulation von Kontaktproblemstellungen. Des Weiteren wurde das neue Modell für duktile Schädigung in Kooperation mit TP A05 erfolgreich auf die Modellierung eines Freibiegeprozesses angewendet. Die netzunabhängigen Simulationsergebnisse ermöglichen, Materialparameter unabhängig von der gewählten FE-Diskretisierung zu identifizieren. Dies wurde basierend auf Grundversuchen für DP800 im Kontext der Verifikation und Validierung erfolgreich umgesetzt. Des Weiteren wurde das Gradienten-erweiterte Schädigungsmodell in Kooperation mit TP C05 in einen Simulationsrahmen zur Optimierung überführt. Hierbei beinhaltet die Zielfunktion des Optimierungsalgorithmus (direkt und indirekt) Schädigungsgrößen, sodass optimale Lastpfade und Geometrien ermittelt werden können. Die Modellierung anisotroper Schädigung versteht sich im Übergang zur zweiten Förderperiode. Darüber hinaus kann für die Simulation von Umformprozessen, wie z.B. dem Vollvorwärtsfließpressen, die Entwicklung einer Neuvernetzungsstrategie in Kombination mit Abaqus sinnvoll und hilfreich sein.

Literaturverzeichnis